Man braucht generell kein Mathe für (beruflichen) Erfolg. Man braucht Mathe für ein paar spezielle Felder, aber abgesehen davon werden nur Computerprogramme genutzt. Schulen lehren aber so, als gäbe es keine technischen Hilfsmittel. Auf den ersten Blick merkwürdig. Wir können einfach Computerprogramme nutzen. Werden wir auf einen nuklearen Fallout vorbereitet, wodurch der Zugriff auf Computerprogramme stark eingeschränkt wird? Irgendwie sehr unwahrscheinlich. Und ganz abgesehen von Präservation, kaum ein Schulabgänger braucht das Spektrum an Werkzeugen, das uns beigebracht wird. Warum wird Mathe so gelehrt?
Trotzdem finde ich Mathe ziemlich faszinierend. Ich möchte erklären, was es für mich bedeutet und warum ich so denke.
Wenn ich an "Leidenschaft für Mathe" denke, dann denke ich an den klassischen Stereotypen. Ein Schüler der gut darin ist Aufgaben aus dem Mathebuch zu lösen, jemand der mit Einfachheit komplizierte Formeln liest, jemand der weiß wie man Probleme mit Mathe löst. Ich bin nicht so eine Person.
Mathe auf weiterführenden Schulen (und auch Unis, abgesehen vom Mathematik-Studiengang) wird meistens als Mittel zum Zweck gelehrt. Als ein Werkzeugkasten der einige Werkzeuge enthält, die man nutzen kann um übliche Probleme zu lösen. Wie berechnet man den Flächeninhalt von einer Oberfläche? Wie berechnet man den Höhepunkt dieser Parabel? Schritt 1, 2, 3, fertig.
Dieser Ansatz, alles im Einklang mit praktischem Nutzen zu lehren, hat mir den Spaß an Mathe verdorben. Und ja, ich verstehe den Wert davon eine Gleichung lösen zu können oder eine nicht-triviale Funktion integrieren zu können. Und trotzdem ist es unendlich langweilig. Ich bin schließlich kein Computer.
Deswegen hab ich zwei Vorstellungen von Mathe. Die erste ist die von "Schul-/Uni"-Mathe. Dumm Regeln auswendig lernen, um praktische Sachen berechnen zu können. Allein wenn ich daran denke wird mir langweilig. Aber es gibt auch noch die zweite Vorstellung:
Die andere Vorstellung ist wie ich Mathe aus meiner Kindheit kenne. Es ist wie diese Alien-Sprache im Film Arrival. Es lässt einen universell geltende Fakten darstellen, die sich anders nicht beschreiben lassen.
Ein Beispiel:
Angenommen, man hat zwei Bücher: A, B. Es gibt 2 Möglichkeiten, sie im Regal anzuordnen: AB und BA. Wenn man drei Bücher hat, gibt es 6 Möglichkeiten: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Wenn man genau hinschaut, stellt man fest, dass die Anzahl dieser "Permutationen" 1 × 2 × 3 × ... × wie_viele_Bücher ist.
Die Anzahl der Möglichkeiten, wie man n Dinge neu anordnen kann, wird als Fakultät bezeichnet und als n! geschrieben:
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
...
Aber in Wirklichkeit ist es nichts anderes als n! = 1 × 2 × 3 × ... × n
Nun wollen wir uns einem scheinbar anderen Thema zuwenden. Lass uns über Funktionen sprechen. In der Mathematik bedeutet eine Funktion, dass man einen Wert einträgt und einen Wert ausgibt. Man kann sie grafisch darstellen, um die Beziehung visuell zu erkennen.
Hier ist ein Graph von y = x. Er ist ziemlich nutzlos.
Der Graph ist eine lineare Funktion. Er sieht aus wie eine Linie, daher "linear". Sein Wert wächst, aber er wächst auf langweilige Weise. Er wächst nicht langsamer oder schneller zu verschiedenen Zeiten: Sein Wert wächst mit einer konstanten Geschwindigkeit. Es ist genau wie auf einer Rolltreppe.
Es stellt sich heraus, dass die Frage "Wie schnell wächst eine Funktion an jedem Punkt" auch als Funktion ausgedrückt werden kann. Das nennt man die Ableitung einer ursprünglichen Funktion. Die Ableitung von y = x ist zum Beispiel y = 1. Das heißt, die "Wachstumsgeschwindigkeit" von y = x ist (bei jedem x) konstant.
Aber nicht alle Funktionen wachsen so langweilig! Man könnte sich zum Beispiel fragen: Welche Funktion wächst mit der Geschwindigkeit von y = x (und nicht y = 1)? Mit anderen Worten: Wie heißt die Funktion, deren Ableitung ("Wachstumsgeschwindigkeit") y = x ist? Man würde erwarten, dass diese Funktion schneller ansteigt als eine Linie.
Es stellt sich heraus, dass es unendlich viele solcher Funktionen gibt, aber sie sehen alle sehr ähnlich aus. Die ursprüngliche Funktion (die "Anti-Ableitung" von y = x) ist y = x^2 / 2. Diese Parabel "wächst" mit der "Geschwindigkeit" einer Linie!
Ich sagte, es gibt unendlich viele solcher Funktionen. Das liegt daran, dass man diese Parabel nach oben oder unten verschieben kann, und die "Veränderungsgeschwindigkeit" wäre die gleiche. Der Geschwindigkeit ist es egal, wo man beginnt, nur der Weg ist wichtig. Die Anti-Ableitung von y = x ist y = x^2 / 2 + C, wobei C eine beliebige Zahl ist.
Es handelt sich hier also eindeutig um eine interessante Transformation. Eine Parabel wächst mit der Geschwindigkeit einer diagonalen Linie. Eine diagonale Linie wächst mit der Geschwindigkeit einer horizontalen Linie (weil die Geschwindigkeit konstant ist). Eine horizontale Linie wächst mit der Geschwindigkeit einer horizontalen Null-Linie (d.h. sie wächst nicht).
Dies könnte zu einer Frage führen. Gibt es Funktionen, die ihre eigenen Ableitungen sind? Mit anderen Worten, gibt es Funktionen, deren Wachstumsgeschwindigkeit durch sie selbst beschrieben wird?
Eine solche Funktion kennt man sicher schon. Sie ist y = 0. Sie wächst überhaupt nicht. Ihre Wachstumsrate, ihre Ableitung, ist also auch y = 0. Sie ist ihre eigene Ableitung.
Aber diese Funktion ist super langweilig. Könnte man etwas Besseres finden?
Nehmen wir an, unsere Funktion wächst. Aber ihre Wachstumsgeschwindigkeit muss genauso wachsen wie sie wächst. Und das wächst mit ihrer Wachstumsgeschwindigkeit! lol, die Funktion muss sehr schnell wachsen
Eine Funktion, die schnell wächst, ist die Exponentialfunktion. Hier ist zum Beispiel ein Graph von 2^x.
Allerdings wächst 2^x nicht schnell genug, um seine eigene Ableitung zu sein. Seine Wachstumsrate *ist* exponentiell, aber nicht dieselbe. Es ist ungefähr y = 0,693 * 2^x. Das ist etwas langsamer als die ursprüngliche Funktion y = 2^x (aber immer noch ganz gut).
Wenn man mit der Anpassung von 2^x auf 2,1^x, 2,2^x usw. beginnt, stellt man fest, dass sich auch die Wachstumsrate immer mehr der ursprünglichen Funktion annähert.
Bei etwa y = 2,718^x wird die Wachstumsrtae gleich (ebenfalls bei y = 2,718^x). Diese Funktion ist ihre eigene Ableitung.
Der Exponent y = 2,718...^x wird "natürlich" genannt, weil er seine eigene Ableitung ist. Er wird als e^x geschrieben, wobei e diese Zahl ist, die wie aus dem Nichts auftaucht: 2,718... e ist genauso interessant wie π, wird aber eindeutig unterschätzt.
Und hier ist der Clou. Angenommen, man hat unendlich viel Zeit, einen Taschenrechner und nichts zu tun. Angenommen, man berechnet die Anzahl der Möglichkeiten, die Bücher in einem immer größer werdenden Bücherregal neu anzuordnen. Keine Bücher (0), 0! = 1 Möglichkeit zum Anordnen. 1! = 1 Möglichkeit. 2! = 2 Möglichkeiten. 3! = 6 Möglichkeiten. Und so weiter.
Nehmen wir nun an, dass man ohne triftigen Grund anfängt, die Umkehrzahlen dieser Faktoren zu nehmen. Man nimmt also:
1/0! = 1
1/1! = 1
1/2! = 1/2
1/3! = 1/6
1/4! = 1/24
1/5! = 1/120
Und nehmen wir an, man fängt in völliger Ekstase an, die Zahlen zu addieren.
Man erhält:
1
2
2.5
2.666
2.708
2.716
2.718
Wenn man unendlich viel Zeit damit verbringt, sie zusammenzuzählen, erhält man am Ende der Unendlichkeit (die nie eintreten wird) e.
Wenn man die Dinge aus der realen Perspektive betrachtet, würde man nie den Zusammenhang zwischen dem Umstellen von Büchern in einem Regal und den Prozessen erkennen, die mit ihrer eigenen Geschwindigkeit wachsen. Man wäre nicht in der Lage, eine unendliche Summe zu nehmen und ein sinnvolles Ergebnis zu behaupten. Mit Mathematik kann man das tun.
Als ich zum ersten Mal gesehen hab
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + ...
oder
π = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
war das wie eine Offenbarung (ka kenne kein besseres Wort). Es gibt Gründe dafür, warum diese Beziehungen wahr sind. Ich verstehe Teile davon, aber nicht alles. Oft gibt es mehrere Wege, um zum gleichen Ergebnis zu kommen. Für mich geht es bei der Mathematik nicht darum, zu rechnen oder praktische Beobachtungen zu machen. Es geht darum, in diesen Turm des Denkens einzutauchen.
Mathe an Schulen macht das gewisse Gegenteil davon.
Thx for coming to my TED talk
